Автор: Кузнецова Ия
Золотое сечение в Лунной сонате
Людвига ван Бетховена
МУЗЫКА, МАТЕМАТИКА
Кузнецова Ия, 7 «Б» класс, школа 64
Иркутск, 2016
СОДЕРЖАНИЕ
Введение.......................................................................................................... 3
Методы и материалы........................................................................................ 4
Результаты работы........................................................................................... 4
Выводы........................................................................................................... 10
Литература..................................................................................................... 11
Введение
Любое музыкальное произведение имеет временное протяжение и делится некоторыми «эстетическими вехами» на отдельные части, которые обращают на себя внимание и облегчают восприятие. Этими вехами могут быть смена тональности, смысловая пауза, самая высокая нота отдельного звукоряда и пр. Отдельные временные интервалы музыкального произведения, соединяемые «кульминационным событием», как правило, находятся в соотношении Золотого сечения.
Ещё в 1925 году искусствовед Л.Л. Сабанеев (Сабанеев, 2005), проанализировав 1770 музыкальных произведений 42 авторов, показал, что подавляющее большинство выдающихся сочинений можно легко разделить на части или по теме, или по интонационному строю, или по ладовому строю, которые находятся между собой в отношении золотого сечения. Причём, чем талантливее в человеческом представлении композитор, тем в большем количестве его произведений найдено золотых сечений. По мнению Сабанеева, золотое сечение приводит к впечатлению особой стройности музыкального сочинения. Этот результат Сабанеев проверил на всех 27 этюдах Шопена. Он обнаружил в них 178 золотых сечений. При этом оказалось, что не только большие части этюдов делятся по длительности в отношении золотого сечения, но и части этюдов внутри зачастую делятся в таком же отношении.
Композитор и учёный М.А. Марутаев подсчитал количество тактов в знаменитой сонате «Аппассионата» и нашёл ряд интересных числовых соотношений. В частности, в разработке – центральной структурной единице сонаты, где интенсивно развиваются темы и сменяют друг друга тональности, - два основных раздела. В первом 43,25 такта, во втором – 26,75. Отношение 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 даёт золотое сечение.
Наибольшее количество произведений, в которых имеется Золоте сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Шопена (92%), Шуберта (91%)
Целью нашего исследования было изучить, каким образом золотое сечение проявляет себя в гениальном творении Людвига ван Бетховена «Лунная соната».
Для этого мы решали следующие задачи:
- усвоить теоретические основы золотого сечения;
- изучить структуру Лунной сонаты;
- выявить в произведении элементы для расчётов;
- оценить проявленность правила золотого сечения в произведении.
Методы и материалы
Поскольку наше исследование носит теоретический характер, в качестве основы для анализа мы использовали нотную запись Лунной сонаты, а для расчётов применили базовые знания алгебры на уровне 6-7 класса общеобразовательной школы.
Результаты работы
Что же такое золотое сечение? Золотое сечение – это гармоническая пропорция.
Из математики мы знаем, что пропорцией называют равенство двух отношений: a : b = c : d.
Отрезок прямой АВ можно разделить на две части различными способами:
- на две равные части - АВ : АС = АВ : ВС;
- на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
- таким образом, когда АВ : АС = АС : ВС.
Последнее и есть золотое деление (сечение).
Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему (рис. 1):
A : B = B : C или C : B = B : A.
Непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции даёт соотношение 0,618 : 0,382, его мы и использовали при расчётах.
Лунная соната (Соната для фортепиано №14 до-диез минор) Людвига ван Бетховена состоит из трёх частей различного темпа и характера. Для анализа мы выбрали пока только первую часть, как наиболее известный и любимый фрагмент этого произведения, являющийся сам по себе вполне законченной музыкальной формой.
Этот фрагмент определяется движением басовых октав; гармоническая триольная фигурация, с проходящая через всю часть, выдержанно через все сочинение однообразного ритмического движения. Соединяясь в одно гармоническое целое, каждый из этих элементов живёт самостоятельной жизнью, образуя непрерывную живую линию, а не «подыгрывая» только свою партию к ведущему голосу.
В качестве основы для расчётов мы взяли триольную линию. Триоли в этом произведении содержат по три ноты, каждая последующая из которых выше предыдущей. Это и послужило материалом для расчётов. В каждой триоли для всей первой части мы рассчитали высоты всех звуков в Герцах. В результате каждая триоль была нами представлена в виде своеобразного отрезка частотного диапазона, началом которого служила первая нота триоли, концом – третья, а точкой сечения отрезка на две части – вторая. Для каждой из 88 триолей сонаты мы рассчитали соотношение, в котором вторая нота делит отрезок частотного диапазона на два и оценили близость этой точки к золотому сечению, для чего использовали известное соотношение (0,618 : 0,382).
Приведём пример расчётов для первой триоли (которая соответствует и первой доле).
Первая триоль состоит из нот: соль большой октавы, до первой октавы и ми первой октавы. Согласно приключевым знакам находим частоту нот соль диеза большой октавы, до диеза первой октавы и ми первой октавы. Используя табличные данные получаем:
соль диез – 207,65 Гц;
до диез – 277,18 Гц;
ми – 329,63 Гц;
частотный диапазон для триоли составляет:
329,63 Гц – 207,65 Гц = 121,98 Гц
Вторая нота делит полученный условный отрезок в некоторой точке. Рассчитаем её и получим два отрезка:
277,18 Гц – 207,65 Гц = 69,53 Гц
329,63 Гц- 277,18 Гц = 52,45 Гц
То есть весь отрезок триоли диапазоном в 121,98 Гц разделён средней (второй) нотой на два отрезка диапазоном в 69,53 Гц и 52,45 Гц.
Теперь рассчитаем теоретические точки разделения этого же диапазона, если бы разделение было осуществлено в пропорция золотого сечения. Учитывая, что мы имеем дело с жёсткой последовательностью звуков, вариантов деления может быть два – когда больший отрезок будет первым и когда он будет вторым, отсюда мы получим две точки возможного разделения в пропорции золотого сечения.
121,98 Гц * 0,618 = 75,38 Гц
121,98 Гц – 75,38 Гц = 46,6 Гц
В частотном выражении это будет соответствовать позициям:
207,65 Гц + 46,6 Гц = 254,25 Гц (звук, по своей частоте располагающийся между нотами Си большой октавы и До первой октавы)
207,65 Гц + 75,38 Гц = 283,03 Гц (звук, по своей частоте располагающийся между нотами До диез и До первой октавы)
Графически полученные соотношения можно представить таким образом (рис. 2)
На примере расчётов, выполненных для первой триоли мы видим, что реальное разбиение триоли второй нотой приходится не на золотое сечение, хотя и близко к нему. Рассчитаем отклонение полученной точки деления от теоретически рассчитанного золотого сечения:
283,03 Гц – 277,18 Гц = 5,85 Гц
277,18 Гц – 254,25 Гц = 22,93 Гц
Минимальное отклонение составляет 5,85 Гц
Проведя такие расчёты для каждой из 88 триолей первой части Лунной сонаты и оценив отклонение от теоретически рассчитанных для каждой триоли точек золотого сечения, мы получили возможность графически отобразить выявленные закономерности (рис.3 и 4).
Сделанные расчёты и построенный нами графики демонстрируют очевидные закономерности – кроме того, что триоли имеют последовательно по высоте распределение нот, уже предполагающее возникновение состояния гармонии и успокоения, каждая триоль разделена своей средней нотой на отрезки, имеющие соотношения, в ряде случаев очень близкие с точке золотого сечения. Такие пропорции в отрезках нами отмечены в 27 и 28 долях, 37-41 долях, 46 доле, 57 и 58 долях, 80 и 81 долях и в завершающей всю первую часть – в 88 доле. Примечательно, что первое «попадание» в золотое сечение приходится в точке всей части, которая делит её также в пропорциях, близких к золотому сечению (28:88 = 0,31 при значении коэффициента золотого сечения = 0,384), второе «попадание» также близко к следующей точке золотого сечения (уже для второго отрезка – 0,63 при коэффициенте в 0,618). Выявленные закономерности можно оценить на рисунке 5.
Как видно из графика, практически все точки, выявленные нами по результатам анализа триолей, как ключевые (с минимальным отклонением от пропорций золотого сечения в соотношение частотных диапазонов внутри каждой триоли) в произведении расположены также согласно законам золотого сечения для отдельно взятых отрезков – наиболее точное попадание отмечено для 3, 4 и 5 точек (46, 57-58 и 80-81 доли). 1 и 2 точки (27-28 и 37-41 доли) в большей степени отклоняются от распределения согласно пропорциям золотого сечения. При этом не наблюдается чёткого проявления уменьшения отрезков в соответствии с пропорциями золотого сечения (что, например, демонстрирует ряд Фибоначчи), но каждый отдельно взятый отрезок построен очень близко к «золотым» пропорциям. Таким образом, наиболее стройный и гармоничный вид описанная часть структуры сонаты приобретает к концу произведения.
Выводы
Полученные нами результаты свидетельствуют о том, что не только общая структура (построение) Лунной сонаты содержит в себе зависимости в пропорциях золотого сечения, выявленные рядом исследователей, но и более мелкие элементы построены с использованием золотого сечения. Из графиков видно, что в определённые интервалы первой части средние ноты триолей с большой точностью приближаются к точкам золотого сечения (с отклонением всего лишь до десятых долей Герца). При этом учитывая, что для человека пропорции золотого сечения, будь они выражены в звуковой, графической или иной формах, вызывают ощущения эстетического удовольствия, состояние гармонии, можно отметить, что композитор в своём произведении использует приём «качелей» (условно его так назвали) – когда к точке золотого сечения слушатель подводится через довольно серьёзные отклонения от него, чем и достигается, возможно, эффект от этого произведения, который человек обозначает как «музыка нравится». Однако, известный лечебный, успокаивающий эффект этого произведения, оказываемый на человека, его прослушивающего, вероятно также имеет происхождение в некоторых особенностях именно последовательного сочетания частот. Их изменяющаяся частота, причём изменяющаяся в определённых соотношениях, стремящихся к точке золотого сечения, воздействуя на мозг человека, приводит его состояние и функционирование к гармонии, что и сказывается на улучшении самочувствия.
Литература
1. Шкруднев Ф.Д. Золотое сечение http://samlib.ru/s/shkrudnew_f_d/osnovy-30.shtml
2. Сабанеев Л.Л., Золотое сечение в природе, в искусстве и в жизни человека / Воспоминания о России, М., «Классика-XXI», 2005 г., с.219-220.
3. Золотое сечение. Три взгляда на природу гармонии. Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. 1990
Ия, просто замечательные, глубокие и удивительные начинания у Вас! Душа радуется, что есть такие любознательные и интересные Человеки, как Вы. Замечательная статья, прекрасная идея и, что более важно, прекрасный старт (особенной в Декабре - это удивительный месяц, который ещё откроет Вам свои тайны) в жизнь.
Но прошу, разве поиск Золотого Сечения в музыке лежит в рамках подсчёта частотных характеристик нот? А временные характеристики музыкального произведения? Если их учитывать, а потом наложить частотные параметры на временные, тогда мы получим объёмную структуру произведения, а не плоскую (только Гц) и здесь уже математикой за 7 и даже за 11 не обойтись)
Примите мой комментарий, если он верный, конечно, ибо я сам искатель как и Вы, за полезную критику и помощь в дальнейшем.
И отдельная благодарность вашим родителям!